Bolyai János kéziratos hagyatéka

Kiss Elemér egyetemi tanár

(Marosvásárhely)

Bolyai János (1802-1860) születésének kétszázadik évfordulójára emlékezünk. Ő az első olyan magyar matematikus aki művével világraszólót alkotott. Még nem volt 21 éves amikor 1823. őszén felfedezte az abszolút geometria alapképletét és ezt követően néhány év alatt teljesen kidolgozta geometriai rendszerét. Életét és munkásságát számos monográfia, tudományos dolgozat és népszerűsítő cikk méltatta, sokan és szerencsére sokat írtak róla. Világszerte ismert a geometriában elért korszakalkotó felfedezése s a modern matematikai gondolkodás kialakításában játszott szerepe.

Bolyai János a matematikus réges-régen elfoglalta méltó helyét a tudományban. A tudománytörténet a halhatatlan tudósok sorába emelte, lezártnak, befejezettnek tekinti életművét. A róla szóló bibliográfiák, nagy tekintélyű lexikonok sokféle, eltérő arcát mutatják be. Matematikusként kizárólag a geometriában és a komplex számok elméletében elért eredményeit emlegeti a szakirodalom. Emberi vonásai, apjához való viszonya – különösen egyes szépirodalmi munkák, művészeti alkotások hatására – eltorzítva, hamisan élnek a köztudatban.

Nemrég még azt hittük, hogy a legnagyobb magyar tudósról már minden lényegest elmondtunk, hogy Bolyai János matematikai világa mindannyiunk számára nyitott könyvvé vált. Sok ezer oldalas kéziratos hagyatékának az utóbbi években történt feltárása azonban a tudósról és emberről eddig elterjedt nézetek átértékelését sürgetik.

Életében egyetlen munkája A tér abszolút igaz tudománya, ismertebb nevén az Appendix jelent meg nyomtatásban. Ez a műve elég volt ahhoz, hogy nevét világhírűvé tegye és nagy dicsőséget hozzon hazájának. Ám Bolyai János nemcsak az Appendixet hagyta ránk örökül. Nagy munkájának megalkotása után is állandóan dolgozott, jegyzetelt. Ennek eredménye hatalmas kéziratos hagyatéka, amelyből csupán Marosvásárhelyen 14.000 oldalnyit őriznek a Teleki-Bolyai Könyvtárban [1]. A jegyzetek rejtették eddig azokat a matematikai tételeket – Bolyai szavaival kincseket -, amelyek felismerése után kijelenthetjük, hogy ő nem csak a geometriában alkotott nagyot, de eredményesen kutatta a matematika más természetű problémáit is.

A kéziratok

Miután 1860. január 27-én a hűséges gondozó, Szőts Júlia remegő kézzel leírta, hogy „... így már nints mit tagadni, a Kapitány Úr nints többé ...”, a marosvásárhelyi várparancsnok Bolyai János minden írását lefoglaltatta, utasítást adott, hogy rakják azokat ládákba és vigyék be a várba. Meg kellett vizsgálni, hogy nincs-e bennük valamilyen katonai vonatkozású titok. Különös, de talán ennek az intézkedésnek köszönhető, hogy a Bolyai által évtizedeken át papírra vetett gondolatok nem semmisültek meg. A ládák a későbbiek folyamán sok viszontagságon mentek át. Miután a vásárhelyi várban folyó vizsgálat nem talált katonai titkokat a sűrűn teleírt lapokban, átszállították azokat a városi rendőrségre, egy fészerbe. Végül az ősi iskola, a marosvásárhelyi Református Kollégium saját épületébe vitette a kéziratokat, s ezzel megmentette az utókornak. 1869-ben a kéziratos hagyatékot Marosvásárhelyről felkérték a Magyar Tudományos Akadémiára, hogy majd ott alaposan tanulmányozzák, de mivel „ ... ezen iratokban kiadásra alkalmas anyag nem találtatván ... ”, 1894-ben hiánytalanul visszaküldték eredeti tulajdonosuknak.

Bolyai János legszívesebben nagyméretű szürkés vagy kékes színű papírlapokra írt. Úgy tűnik, ezeket nem tudta mindig megvásárolni, s ha nem akadt más, minden keze ügyébe kerülő papírt felhasznált, hogy gondolatait megörökítse: szétterített régi levélborítékokat, hivatalos okmányokat, gyászjelentéseket. Hagyatékában sok apró papírt, megnyirbált följegyzést találunk. Külön öröm a kutatónak, amikor egy kalendárium, sorsjegy hátán vagy iskolai értesítőn talál jegyzeteket, mert ezeken keltezés is olvasható, s így ha nem is teljesen megbízhatóan, de eligazodhat az írás keletkezésének időpontjára vonatkozóan. Sok színházi műsorlap hátoldalát teleírta Bolyai. Ezek alapján egy hozzáértő szakember már-már megírhatná a XIX. századi Marosvásárhely színháztörténetét.

Bolyai János jegyzeteit nem sorolhatjuk a szokványos kéziratok közé. Nem hasonlítanak egy tudós, író személyi levéltárához vagy egy államférfi emlékirataihoz. Ezek nem nyomtatásra kész dolgozatok, hanem befejezetlen tervezetek, számos hézaggal, ismétléssel, törléssel, betoldással. Bolyai írásaiban maga szerkesztette betűket használt, jegyzetei mai olvasójának sokszor elég nehézkes és szokatlan szimbolikával kell megbirkóznia. Új szavakat is alkotott. Mindezek rendkívül megnehezítik feljegyzéseinek számbavételét. A matematikai gondolatokat tartalmazó Bolyai-írások elég rendezetlenül találhatók a különböző dossziékban. Így sokszor egy megkezdett ötlet folytatását nehezen találjuk meg. Persze, ha egyáltalán létezik folytatás valahol a kézirathalmazban. Külön nehézséget okozhat, hogy Bolyai három nyelven készítette jegyzeteit: magyarul, latinul és németül. Gót betűket is használt. Írásai közül sok befejezetlen. Tudatában volt feljegyzései hevenyészettségének, azokból csak válogatott anyagot akart az olvasó elé bocsátani, amint írta „ ... halavány éretlen alma-zöld színű papiron ...”.

Bolyai kéziratairól a kortársak is tudtak és megsejtették, hogy azok, ha nem is katonai de valamilyen más titkokat rejtenek. Már nagy tudósunk elhunytakor 1860-ban így ír Dózsa Dániel a Kolozsvári Közlönyben megjelent nekrológjában: „ ... mert nagybecsű kéziratait nem adhatá, elhatározott célja szerint sajtó alá, s kérdés vajon sikerülend-e avatott kezeknek úgy rendbeszedni s világ elébe bocsátani, hogy magas értékök szerint méltó elismerést vívjanak ki”.

Alig hét évvel később a marosvásárhelyi kollégiumban tanító Szabó Sámuel (1829-1905) Schmidt Ferenchez (1827-1901) – a Bolyaiak ügyének fáradhatatlan előharcosa – intézett két levelében olvashatunk a kéziratokról. Az egyikben jelzi, hogy átlapozta a Bolyai hagyatékot, ez rendkívül szennyezett és rendezetlen, hosszú időt fog még igénybe venni feldolgozásuk. A másik levélből megtudjuk, hogy 1867. május 29-én a református egyház főkonzisztóriuma Kolozsvárott elrendelte a kéziratos hagyaték feldolgozását. Sajnos a határozat végrehajtásának akkor hiányoztak az itthoni feltételei. Ugyancsak 1867-ben a francia Guillaume-Jules Hoüel (1853-1922) – az Appendix francia fordítója – felhívja Schmidt Ferenc figyelmét Bolyai János kéziratos hagyatékára, melyben még bizonyára vannak közlésre méltó értékes dolgok [6].

1869-ben Baldassare Boncompagni (1821-1894) a Római Akadémia matematika osztályának elnöke írt levelet Akadémiánk akkori elnökének Eötvös Józsefnek a Bolyai-hagyaték feldolgozása ügyében „meg lévén győződve, hogy ilyen lángész irományai között sok becses jegyzet lesz ”.

Közben itthon is felismerték a Bolyai ügy jelentőségét, s az Akadémia átkérte Marosvásárhelyről feldolgozás céljából a Bolyai hagyatékot, amely 1869. decemberében érkezett meg Pestre. Rövidesen megalakult a kéziratok átvizsgálására hivatott bizottság. A munka azonban vontatottan haladt, s miután a beadott jelentések értelmében az iratokban kiadásra alkalmas anyagot nem találtak huszonöt év után, 1894-ben a hagyatékot hiánytalanul visszaadták jogos birtokosuknak.

Ma tudjuk, hogy a jelentéseket nem előzte meg alapos kutatómunka. Már a rákövetkező években Paul Stäckel (1862-1919) német egyetemi tanár több tanulmányban és kétkötetes könyvében [5] megmutatta, hogy „ezen iratokban” van kiadásra alkalmas anyag. Az ő úttörő munkájának köszönhető, hogy a tudományos világ megismerhette Bolyai János több, kéziratban maradt munkáját. Stäckel Marosvásárhelyre is ellátogatott, hogy minél alaposabban tanulmányozhassa a Bolyaiak tevékenységét. Igen sokat tett Bolyai János érdemeinek elismertetéséért.

A kéziratok feltámadásra váró kincsei

Paul Stäckel munkáinak megjelenése után a Bolyai-kutatás hosszú évtizedeken át legtöbbször csak az ő észrevételeire és magyarázataira támaszkodott. Ez érthető, mert könyve ma is a két Bolyai életét és munkásságát bemutató alapmű. Stäckel jelentős munkát végzett, de mindent felölelni nem tudott. Nem sikerült kihámoznia a kéziratokból a teljes Bolyai művet, ezért nem fogadhatjuk el maradéktalanul minden következtetését.

Bár számosan forgatták már a kéziratokat mégis különös, hogy több mint egy évszázad alatt nem akadt egyetlen magyar szakember, aki ezek rejtelmeibe – néhány, főképpen geometriai eredmény vizsgálatán túl – tüzetesen behatoljon. Joggal kérdezhetjük miképpen lehetséges ez? A kérdésre kétféle magyarázatot is adhatunk. Egyrészt kétségtelenül szerepet játszott a kéziratok állapota. Amint már említettük nem könnyű olvasni és megérteni Bolyai írását. Tanulmányozásuk hamar kedvét szegi a nem elég kitartó, szívós kutatónak. Másrészt, ha az eddigi Bolyai-irodalmat olvassuk gyakran tapasztaljuk, hogy tekintélyes szerzők (így maga Stäckel, de Kárteszi Ferenc, Alexits György és mások is) szinte lebeszélnek a kutatásról, kilátástalannak, reménytelennek tartják a búvárkodást.

A kéziratoknak az elmúlt évtized során történt többszöri átvizsgálása azonban alaposan rácáfolt a borúlátó véleményekre. A nehézségek ellenére a kutatás sok elégtétel forrása. Öröm és izgalom különös keveredését érezzük valahányszor egy használható szöveg kerül a kezünkbe, vagy egy rejtelmes mondat értelmére rájövünk. Bizony jól sejtette már Dózsa Dániel, Hoüel és Eötvös József is, hogy a kéziratokban sok érték van.

Bolyai János jegyzetei arról tanúskodnak, hogy az eddig megjelent monográfiákban hangoztatott állításokat módosítanunk kell, szükséges azokat átértékelnünk, sőt helyreigazítanunk. A kézirathagyaték lapjai, az újabban feltárt több Bolyai-levél arról győznek meg, hogy a geométerként ismert Bolyai János egyetemes matematikai zseni volt, akit a matematika minden ága érdekelt és aki korának számos alapvető problémájával foglalkozott, olykor évtizedekkel megelőzve más nagy nevekhez fűződő felfedezéseket. Ugyanakkor fény derül valódi emberi arcára is. Vallatóra fogva a feljegyzéseket egy árnyaltabb, színesebb, teljesebb Bolyai-kép rajzolódik ki előttünk.

Melyek tehát a Bolyai-hagyaték utóbbi években felszínre hozott kincsei? Mi maradt ki Stäckel könyvéből és az eddigi Bolyai írásokból? Miért Jeans-tétel az elnevezése annak a matematikai igazságnak, amelyet egészen bizonyosan Bolyai János fedezett fel?

A következőkben ezekre a kérdésekre válaszolunk anélkül, hogy túlságosan belemerülnénk a részletekbe [2].

A komplex egészek oszthatósága

Bolyai János beismeri, hogy eleinte a képzetes mennyiségek fogalma nem volt elég világos számára, üresnek és hasztalannak vélte azokat, s ezért elfordult tőlük. Ám valahol megpillantotta az képletet, s ezután szorgalmasan igyekezett „ ... tiszta fogalmat szerezni ...” ezekről a számokról. Apjával is több levelet váltott ebben a témában. Amikor a lipcsei Jablonowski Társaság pályázatot hirdetett, amelyben a komplex számok szerkeszthetőségére várt feleletet, Bolyai elkészített egy rövid, tömör dolgozatot, a Responsiot, s ezt 1837-ben elküldte Lipcsébe.

A pályamunka bírálói nem értették meg Bolyai János szűkszavú fejtegetéseit, s így azt elutasították.

A Responsioban foglaltakkal azonban nem merültek ki Bolyai Jánosnak a komplex számokkal kapcsolatos vizsgálatai. Ha hátrahagyott kéziratos hagyatékának szétszórt lapjairól aprólékos munkával összegyűjtjük a tárggyal kapcsolatos följegyzéseit, kibontakozik Bolyainak a komplex egészek oszthatóságára vonatkozó elmélete.

Különös, hogy már Stäckel felfigyelt a kéziratokban itt-ott fellelhető és a komplex számokkal kapcsolatos Bolyai jegyzetekre. Ő viszont úgy érezte, hogy „ ... amit ebből Bolyai nyújt, csak szélesre taposott fejtegetése olyan gondolatoknak, melyeket már régebben szűkszavúan adott elő; tárgyilag új alig van benne”. Pedig bizony van. Talán nem is csodálkozhatunk azon, hogy Stäckel sem értette meg az újat ezekben a feljegyzésekben. Megértésüket még a magyarul tudó olvasónak is megnehezítik a Bolyai-féle jelölések, elnevezések. Első olvasásra az olyan szavak, mint „tökélyes”-, „elegyes”- vagy „edi”- számok bárkinek érthetetlennek tűnnek. Ezeket csak több kéziratlap összehasonlítása után fejthetjük meg.

Bolyai a komplex számok oszthatóságának elméletét „prímtan”-nak nevezte. Apjának írt egyik leveléből tudjuk azt is, hogy felfedezését mikor dolgozta ki. Ezt írja:

„ … az imagináriusok tanát a maga helyén kerestem és meg is kaptam szerencsésen még 1831-ben”. S hogy itt nem csak a komplex számok általános elméletére gondol azt a következő feljegyzése árulja el: „Kezdettől fogva éreztem annak szükségességét, hogy az imaginárius számokat a számelméletbe is fel kell venni …”.

Komplex egésznek azokat az alakú komplex számokat nevezzük, ahol a és b egész számok, . Ezek halmaza, a modern algebra terminológiáját használva, a komplex számok összeadására és szorzására nézve egy euklideszi gyűrűt alkot. Ebben a gyűrűben éppen úgy beszélhetünk az oszthatóság, a legnagyobb közös osztó, a prímek és más fogalmakról, mint a racionális egészek gyűrűjében.

Bolyai egyik fontos eredménye, hogy a komplex egészek sokaságában felismerte a prímeket. Megállapítja – akárcsak Gauss - , hogy komplex prímek;

a) az

b) a alakú racionális prímszámok, mint például a 3, 7, 11, ...

c) a alakú racionális prímszámok komplex tényezői, mint például a komplex számok, mert ezek a racionális szám komplex tényezői, ui. .

Bebizonyítja, hogy a komplex egészek is komplex prímtényezőkre bonthatóak és más oszthatósági tételeket.

Bolyai a komplex egészek gyűrűjében foglalkozott a kongruenciák elméletével is. Így például meghatározza azt az komplex számot, amelyre adott és mellett

.

Beszél egy adott modulusra vonatkozó legkisebb és teljes maradékrendszerekről és ezekre vonatkozó számításokat végez.

Számelmélet

Az eddig megjelent Bolyai-monográfiák szerzői egyöntetűen kijelentik: Bolyai János próbálkozott ugyan néhány számelméleti probléma megoldásával, de kutatásai ezen a téren nem voltak eredményesek. A kéziratok ennek a véleménynek éppen az ellenkezőjéről tanúskodnak. Őt is megejtették „a matematika királynőjének” nehéz feladatai, s a számelméletben több olyan eredeti gondolata volt, amelyekkel megelőzte későbbi korok matematikusait [3].

Bolyai János legtöbbet a prímszámokkal vesződött. Már gyermekkorában eltűnődött azon, hogy végtelen sok prímszám létezik-e. Egy olyan eljárást keresett – mint sokan mások -, amelynek segítségével bármely törzsszám megfelelő képlettel kifejezhető. A racionális egészek körében a prímszámképletet nem sikerült megtalálnia, mint ahogy napjainkig ez másnak sem sikerült. Vizsgálódásai során azonban igen fontos felfedezést tett, nevezetesen rábukkant több ún. pszeudoprímszámra, vagy magyarul álprímszámra.

Édesapja kívánságára az ún. kis Fermat-tétel (ha p prímszám, a pedig egy olyan egész szám, amely nem osztható p-vel, akkor különbség osztható p-vel, amit rövidebben úgy szoktunk írni: ), fordítottját vizsgálta, vagyis azt, hogy ha , akkor innen következik-e, hogy az m szám prím? János nagyra értékelte apja ötletét. Egy helyen megjegyzi: „Atyámnak ez az elmés sejtése oly szép és becses”. Valóban igen értékes volt ez a gondolat. Akkoriban még csak két matematikus agyában merült fel, amiről persze a Bolyaiak nem tudtak.

Bolyai János több eredménytelen bizonyítási kísérlet után kimutatta, hogy Fermat tételének fordítottja nem áll fenn. Több olyan m összetett számot talált, amelyekre az összefüggés igaz. Kimutatta például, hogy , pedig . Eredményét egy levélben írta meg apjának, megjegyezve, hogy a 341-es számot „nem vaktában” találta, hanem „elmélet útján”. (El kell ismernünk, hogy ezt az összefüggést valóban nem lehet „vaktában” észrevenni, hisz a szám körülbelül -el, tehát több mint százjegyű. A numerikus ellenőrzés még mai számítógépeinkkel sem problémamentes.)

Bolyai János „elmélete” a következő tétel: ha p és q prímszámok, a pedig nem osztható sem p-vel, sem q-val, akkor abból, hogy

és

következik, hogy . E tétel segítségével kapta Bolyai a fenti példát , és választással.

Ez egy szép Bolyai-tétel. A matematikai irodalomban azonban Jeans-tétel néven ismeretes, mert a kozmogóniai elméletéről híres angol matematikus-fizikus közölte először nyomtatásban 40 évvel Bolyai halála után, mit sem tudva elődjéről.

A matematikai tételek jelentős része – egyes matematikatörténészek szerint legalább a fele – nem az igazi fölfedező nevét viseli. A fentiek szerint ezek közé sorolható a Jeans-tétel is. A tételt minden kétséget kizáróan először Bolyai János találta meg. Fölfedezését – mint oly sok más munkáját az Appendixen kívül – sajnos nem közölte. Még apjával sem. Így történt meg, hogy az egyik szép Bolyai-tétel ma nem az ő, hanem újrafelfedezőjének nevét viseli. Bolyainak munkái megjelentetésére nem volt alkalma. De lehetősége lett volna erre a Bolyai-iratok átvizsgálásával megbízott testületnek abban az időben amikor 1869 és 1894 között a hagyaték az Akadémiai Levéltárban porosodott. Ha akkor alaposan átvizsgálják a kéziratokat bizonyára rábukkannak erre a kincsre. Közlésével pedig mindenképpen megelőzték volna James Hopwood Jeans (1877-1940) 1898-as dolgozatát, s akkor ezt a tételt ma valódi felfedezőjének, Bolyainak nevével tartaná számon a matematika története.

Bolyai felfedezett több pszeudoprímszámot:

A pszeudoprímszámok kutatása a XX. században teljesedett ki és igen fontos szerepet kaptak a titkos üzenetküldések (kriptográfia) területén.

Bebizonyította – apjával együtt – a Wilson-tétel (ha p prím, akkor fordítottját (nem tudott arról, hogy ezt a feladatot már J.L. Lagrange megoldotta).

Igen értékesek Bolyai Jánosnak Fermat ún. karácsonyi tételével kapcsolatos vizsgálatai. A tétel így hangzik: ha p egy alakú prímszám, akkor egyértelműen felírható két egész szám négyzetének összegeként. Például

.

Ezt a tételt is Fermat fogalmazta meg 1640. karácsonyán, de csak L. Euler bizonyította be vagy 100 évvel később. Euler bizonyítása hosszasra sikerült, ami feltűnt Bolyai Farkasnak, és ismételten fiához fordult azzal a kéréssel, hogy készítse el a tétel „legegyszerűbb” bizonyítását. János rövidesen annak négyféle „demonstrációját” küldte el apjának. Ezek közül az egyik feltűnően egyszerű és rövid, úgy érezzük, hogy elegancia dolgában napjainkig senki sem szárnyalta túl Bolyait. A bizonyításokban Bolyai az általa is felfedezett „prímtan”-ra támaszkodott, ezért sikerült olyan egyszerűnek.

Kísérletezett az Fermat-féle szám tényezőkre bontásával. A feladatot nem sikerült megoldania, de kimutatta, hogy az

alakú számok mindig alakúak.

A zeneelméletben fontos szerepet játszó -as – ún. didymoszi komma – törttel kapcsolatosan 1840-ben a következő kérdést teszi fel: határozzuk meg azt az ) törtet, amelynek számlálója 1-gyel nagyobb a nevezőjénél és az a valamint b természetes számok törzstényezői között csak a 2, 3 és 5 prímszámok fordulnak elő. A választ, amely különben negatív (azaz nem létezik ilyen tört) a Bolyai által javasolt stb. exponenciális diophantikus egyenletek megoldása útján kapjuk meg [4].

Az egyenleteket Bolyai nem oldotta meg ugyan, mégis érdemes felfigyelni rájuk, mivel ilyen típusú egyenlet – pontosan a – a matematikai irodalomban csak nem sokkal utána 1843-ban bukkan fel Eugène Charles Catalan (1814-1894) javaslatára (az általános megoldást ő sem ismerte). Innen származott az ún. Catalan-féle sejtés, amely aztán sok fejtörést okozott a XX. században a számelmélészeknek.

Bolyai János foglalkozott az elsőfokú diofantikus egyenletekkel is. Ezen a téren nem ért el látványos eredményeket, de például a Mathias Hausser könyvében található

egyenletet három módon is megoldja.

Kimutatja, hogy az

,

egyenletnek az egész számok gyűrűjében nincs megoldása, de észreveszi ugyanakkor, hogy

.

Végül megemlítjük, hogy Bolyai szerkesztett egy bűvös négyzetet:

x	y
	b

amelynek érdekessége, hogy betűkből készült. Ugyanakkor kitűzi az -es olyan bűvös négyzetek megszerkesztésének feladatát, amelyekben az egyes sorok, oszlopok és átlókban található számoknak ne az összege, hanem a szorzata legyen állandó, vagy pedig ezek a számok alkossanak harmonikus sorozatot.

Algebrai kutatások

Bolyai János nagy szenvedéllyel vizsgálta az algebrai egyenleteket is. Különösen az egyenletek megoldhatóságának kérdésével vívódott sokat. Följegyzéseiből kiolvashatjuk, hogy sok ideig bizonytalan úton járva az ötödfokú, sőt a tetszőleges fokszámú algebrai egyenletek megoldásán fáradozott, majd ráébredve tévedéseire ő is eljutott a Ruffini-Abel-tételig.

Bolyai már aradi szolgálata idején (1826-1830) készített néhány följegyzést a magasabb fokú egyenletek megoldásával kapcsolatban, de nagyobb lendülettel csak 1837-ben, Domáldon kezdett foglalkozni a témával. Ám ekkor még bizonytalan úton járt. A problémával Gauss, A. Ettingshausen, Lagrange és Bolyai Farkas műveiben találkozott. Sokszor emlegeti jegyzeteiben Ettingshausen Bécsben 1827-ben kiadott munkáját, amelyben a szerző egy teljes fejezetet szentel a négynél magasabb fokú egyenletek megoldhatatlanságának, s közli Ruffini erre vonatkozó 1799-es „bizonyítását”. Bolyai hamar észreveszi, hogy Ruffini dolgozatában hiba van. Így ír erről: „ ... Ruffini okmutatási kísérletet tett a lehetetlenségre nézve, ..., de ezen kísérletbe néhány hiba csúszott be ...”. Ebből arra következtetett, hogy a tétel nem érvényes, s ezért az egyenletekkel való foglalatosságainak első szakaszában hozzálátott a négynél magasabb fokú egyenletek megoldásához.

Egy idő után ráébredt kísérletei hiábavalóságára. A hátramaradt kéziratokban található nyilatkozatai tanúsítják, hogy sikerült kijavítania a Ruffini-tétel hibáit, és ezáltal meggyőződött arról, hogy a négynél magasabb fokú algebrai egyenletek algebrai úton általában nem oldhatók meg. Egy 1850. október 25-én kelt levél üresen maradt részére írta ceruzával: „Hogy az 5-rangú általános egyenletet s annyival inkább a még fölsőbb rangúakat geberül föloldani lehetlen ... a legegyszerűbb valódi helyes út csakugyan a Ruffini általam illőleg megjobbított és tökélyre vitt eszméje nyomán lehet”.

Amikor Bolyai János az ötöd- és ennél magasabb fokú egyenletek megoldására vonatkozó gondolatait papírra veti, a matematikusok már ismerik Abel 1826-os bizonyítását. Erről, valamint Galois munkásságáról azonban sohasem értesült. Ám a világ sem tudott arról, hogy a XIX. század derekán a magyar matematikának is volt egy olyan tudósa, aki megoldotta az algebra egyik fontos tételét.

A két Bolyai valódi arca

Valahányszor Bolyai János életére emlékezünk, vagy munkásságáról szólunk, mindegyre felmerül apja, Bolyai Farkas neve is. Ez a két név szorosan összefonódik. Valóban lehet-e Bolyai Farkasra emlékezni anélkül, hogy Jánosra, a fiúra ne gondolnánk, és írhatunk-e Jánosról úgy, hogy közben apjáról megfeledkezünk? Vérségi köteléken túl a nehéz tudóssors is egymáshoz láncolta őket, meg a két évezredes probléma, amelynek megoldásán fáradoztak. Sajnos életük jelentéktelen eseményeiből az utókor jó néhány kutatója drámai színezetű tőkét kovácsolt. Levelezésüknek is inkább az a része vált ismertté, amelyből az apa és fiú közötti feszültségekre következtethetünk. Néha, amint Bolyai János írja, „ ... elég értekezhetés hiánya miatt nem egészen egyeztünk meg ...”. A kéziratos hagyaték, a legújabban feltárt matematikai tartalmú levelekben olvasható apró tanácsok, személyes vonatkozású közlések azonban bensőséges, szerető kapcsolatról, egymást féltő, egymáshoz igen közel álló két nagy egyéniség érzelmi, szellemi összekapcsolódásáról győznek meg. Bolyai János feljegyzéseiben számos helyen idéz édesapja műveiből. Valahányszor Bolyai Farkas nevét leírja, mindig hozzáfűzi „Az általam mélyen tisztelt Édes Atyám”.

A két Bolyai – apa és fiú – élete folyamán számos levelet váltott. Kezdve attól az időtől, amikor János beiratkozik a bécsi hadmérnöki akadémiára, életük alkonyáig szünet nélkül küldik egymásnak a hosszabb-rövidebb árkusokat. Eleinte a távolság, Bécs-Marosvásárhely, Temesvár-Marosvásárhely volt a levélváltások magától érthetödő oka, később, idős korukban – miután ismét egy városban laktak – főként a mindkettőjüket foglalkoztató tudományos gondolatok kicserélése és az egymásra utaltság sarkallta őket írásra. Az apa különben is szeretett levelet írni („Nem restellte egymás után száz levelet írni, sőt beteg volt belé, ha a világot levéllel el nem áraszthatta” – mondja szelíd iróniával János), természetes, hogy ezek jelentős része fiának szólt. A fiú jóval ritkábban ült asztal mellé levélírási szándékkal. Ráadásul kevés számú leveléből éppen a tudománytörténeti szempontból legfontosabbak tűntek el nyomtalanul. Azokra a bécsi keltezésűekre és fiatal tiszt korában írottakra gondolunk, amelyek közül csak egyet, az 1832. november 3-án kelt „temesvári sorokat” ismerjük. Ezekről a levelekről csak annyit tudunk, hogy voltak „Fiam Temesvárról írja a Matézissel teli vastag leveleket” – tudatja egyik ismerősét Farkas 1824-ben. Az elveszett levelekben János feltehetően résztelesen beszámolt apjának az „új, más világ” teremtéséről. Tudunk arról is, hogy Bolyai János féltestvére Bolyai Gergely sem őrizte elég gonddal a birtokában lévő leveleket. Sajnálkozva olvassuk egyik 1884-ből származó írását, amelyben beismeri, hogy „ ... Jánosnak sok levele volt, mind megsemmisítettem. Azokban igaz, hogy roppant sok mathematicum volt ..”

Íme néhány mondatfoszlány a levelekből, amelyekből például kiolvashatjuk, hogy sokszor felkeresték egymást, tehát nem megalapozott az az eddig hangoztatott vélemény, amely szerint miután ismét egy városban éltek, kerülték a találkozást:
„ ... holnap délután oda is ügyökszöm ...” vagy „Addig is míg magam oda mennék ...”,
„ ... Szűvösön köszönve a holnaprai ínvitációt ...”, „a tegnapelőtt igért”, - írja János. „Meglátogatnálak, de nem merek ekkora úthoz fogni” – panaszkodik az idős Farkas.

A látogatások után számos matematikai levél született. János gyakran, már a találkozásukat követő napon írt apjának, amikor a beszélgetésük nyomán felmerült problémák megoldásáról tudatta őt. Így keletkeztek azok a kis értekezések, amelyekből most sikerült megértenünk, hogy a két Bolyait a matematika minden ága érdekelte s a geometria mellett a számelméletben, algebrában és analízisben is szép eredményeket értek el. Az írások nélkül szegényebbek lennénk, kevesebbet tudnánk az őket foglalkoztató problémákról. Egymásról sokat tudtak, aggódtak, ha valamelyiküket betegség kínozta. János leveleiben olvashatjuk: „Örömmel olvasám, hogy a láz elhagyá ...”, „Szüvösön köszönve a herpeszre nézti tudakozódást ..., a gyomor fájdalmon ... csakugyan kis fodormenta szeszt iddogálni nem volna-e jó?” – kérdezi János. „A fogad lóg-e? El ne mulaszd tormát reszeltetni (de nem Szűcsnél), ...” – aggódik Farkas, majd megjegyzi, hogy „ ... a fogak az élet oszlópai, kihúzatásra ne menj könnyen ...”.

Bolyai János elismerte apja nagyságát. Olvasta Farkas műveit, nagyra tartotta matematikai ötleteit. Mindvégig hálásan emlékezik meg az apai nevelésről. „Kegyed egy nagy epochát csinált Euklidtől fogva, oly vezetőnek örvendve (miért örök hála Istennek s kegyednek) illő volt bevégeznem ...” – olvashatjuk egyik levélben. Sajnálja, hogy apja munkái nem váltak széles körben ismertté: „ ... rengeteg erejű szellemére nézve mi nagy kár, hogy kincs munkáit még mind eddig elé tán szinte csak én használtam, mind taníttatásomra, neveltetésemre egykor fordított jó atyai gondjáérti öröm és hálából sokat köszönhetvén ... melyeket egyenként el nem ismernem nagy igazságtalan- és hálátlanság lenne”. A Tentamenről így nyilatkozik: „A Tentamen szelleme magasba kiviláglik”. Bolyai Farkas ún. átdarabolási tételéről mint „Atyám gyönyörű eszméjéről” emlékezik meg János.

Mit jelentenek az idézett mondatok? Azt, hogy a két magányos ember szüntelenül kereste egymást. Bolyai Jánosnak egész életében csak egyetlen olyan tudóstársa volt, akivel megoszthatta gondolatait: édesapja. Környezetükben csak egymáshoz fordulhattak tudományos felvilágosításért. A levelek nem helyettesíthették és nem is helyettesítették a személyes találkozást. Sok levél éppen találkozásaik és beszélgetéseik után született. Milyen szerencse, hogy tudományos gondolataikat levelekben rögzítették. Ha János nem levélben válaszol apja kérdéseire, akkor ma igencsak szegényebbek volnánk az őket foglalkoztató matematikai problémákat illetően.

Bár még további adatokat is említhetnénk, mégis abban a reményben zárjuk írásunkat, hogy érveink így is meggyőzőek, és János születésének 200. évfordulójához közeledve lassan szertefoszlanak a két Bolyai viszonyát beárnyékoló tévhitek. Az újabban felszínre került bizonyítékok szerencsére segítenek a Bolyaiak hiteles portréjának megrajzolásában. Ismét elmondhatjuk Vekerdi Lászlóval: „A két Bolyai – apa és fiú – nem holmi provinciális nyomorba süllyedt s kínjukban egymást tépő szerencsétlenek; alakjuk és sorsuk – gyönyörű levelekkel dokumentált harmóniájában - az európai gondolkozás főáramába tartozik szervesen és kitéphetetlenül.” [7]

Irodalom

1. Bolyai János kéziratos hagyatéka, Marosvásárhely, Bolyai-Teleki Könyvtár.

2. Kiss Elemér, Matematikai kincsek Bolyai János kéziratos hagyatékából, Akadémiai Kiadó és Typotex Kiadó., Budapest, 1999.

3. Kiss Elemér, Notes on János Bolyai’s Researches in Number Theory, Historia Mathematica, San Diego (USA), 26 (1999), 68-76.

4. Kiss Elemér, Sándor József, Bolyai János aritmetikai feladata, MatLap, 5 (2001), 9. szám, 321-325.

5. Paul Stäckel, Bolyai Farkas és Bolyai János geometriai vizsgálatai, I-II kötet, Budapest, 1914.

6. Szénássy Barna, Adalékok a két Bolyai felfedezésének történetéhez, Matematikai Lapok, 29 (1977-1981), 1-3, Budapest, 71-95.

7. Vekerdi László, A Bolyai-kutatás változásai, Természet Világa, Budapest, 112 (1981), 2 szám, 56-58.