A koronavírus járványról matematikus szemmel
(ellentmondó döntési alternatívák)

Dénes Tamás matematikus

Mottó: Az BIZTOSAN TUDHATÓ,
hogy ismeretlen kórokozó által okozott járvány idején,
TÖMEGES TESZTELÉS NÉLKÜL
minden hivatalosan közölt adat ÉRTELMEZHETETLEN!

A döntéselmélet alapvetése, hogy jó döntést csak megfelelõ információk birtokában lehet hozni. Természetesen a "megfelelõ" azt jelenti, hogy mennyiségileg és szakmai szempontból is elegendõ. Bármilyen járvány esetén alapvetõ szakmai kérdés a megfertõzhetõ, illetve a ténylegesen megfertõzõdött populáció tisztázása, mivel csak ezek ismeretében lehet a járvány terjedését számszerüsíteni. A koronavírus (COVID-19) esetén annyit tudunk, hogy CSAK EMBEREKET érint a fertõzés, egy adott országban tehát a teljes lakosságot (néhány kivételes esetben állatokban is találtak ilyen vírust).

Tehát a járvány elterjedtségét egy idõpontban azzal tudjuk számszerûen jellemezni, hogy a teljes populációnak hány százaléka fertõzött?
A fertõzött, azaz vírushordozó egyedekrõl kétféleképpen szerezhetünk információt:
a) Megbetegedtek, tehát a betegség tüneteit mutatják.
b) Nem mutatnak tüneteket, de megfelelõ teszttel (szûréssel) megállapítható, hogy hordozzák a kórokozó vírust.

A teljes populáció fertõzöttségi szintek szerinti felosztását az 1. ábrán látható körök (halmazok) szemléltetik, amelyekre a továbbiakban a T, F, B jelölésekkel fogok hivatkozni. A halmazokban lévõ emberek száma a fehér, sárga és piros körök területeivel jellemezhetõ, amely területeket az egyszerûség kedvéért szintén a T, F, B betûkkel jelöljük.

1. ábra

Az orvosi rendelõknek, kórházaknak, azaz a "betegségügyi" rendszernek nyilván az a) esettel, azaz a B részhalmazzal kell foglalkozni, vagyis a betegek számára kell megfelelõ kapacitással rendelkezni.
A járvány terjedését és a terjedés sebességét azonban az "egészségügyi" rendszer döntései határozzák meg. Ez azt jelenti, hogy a b) eset, azaz az F halmaz lappangó, vírushordozó egyedeit (az 1. ábrán sárga!) milyen széleskörûen és mennyi idõ alatt képes az "egészségügyi" rendszer felderíteni, még azelõtt, hogy ezek az egyedek a B halmazba kerülnének!
Vagyis az egészségügy stratégiai célja, a betegek B halmazának minimalizálása úgy, hogy a "betegségügy" kapacitásai elegendõek legyenek a megbetegedettek biztonságos ellátására.

Tehát már ismert kórokozó esetén az egészségügy a megelõzésre koncentrál, ami nem más mint a védõoltás. Másrészt ekkor a T populáció jelentõs része az elõzõ járványok idején már megfertõzõdött, így az immunrendszere az átfertõzõdés miatt, önállóan is védekezik az ismert kórokozó ellen ("nyájimmunitás").

Mivel a koronavírus az immunrendszer és az oltások számára egyaránt ismeretlen kórokozó,
ezért az elsõ járvány idején a fenti két védõrendszer egyike sem mûködik.
Tehát ekkor az egészségügy csupán a fertõzöttség felderítésére, azaz a b) esetre koncentrálhat!
Ennek érdekében a teljes populáció (T) létszámához képest jelentõs mennyiségû,
azaz tömeges mennyiségû tesztet kell elvégezni!

Ezt támasztja alá a matematikai statisztikai mintavétel azon törvénye, hogy ha egy populációban olyan jelenséget vizsgálunk, amelynek jellemzõ paramétereit NEM ISMERJÜK, akkor a reprezentativitást jól helyettesíti a véletlen mintavétel, amelynek segítségével elég pontos következtetéseket tudunk megállapítani a jelenségre nézve. A véletlenszerûen választott minta elemszámának azonban jóval nagyobbnak kell lenni, mint a reprezentatív mintavétel esetén alkalmazott 1.000-1.500 fõ, vagy a már igen nagy mintának számító néhány ezer egyed. Ez azt jelenti, hogy véletlen mintavétel esetén a minta elemszáma legalább a T populáció létszámának 3-5%-a, ami a közel 10 milliós magyar lakosság esetén 300-500 ezer emberen végzett mérés (teszt).

-------------------------------------- 2. ábra ------------------------------------------- 3. ábra ------------------------------------------------- 4. ábra

A 2.-4. ábrák szemléltetik, hogy minél nagyobb elemszámú a véletlen mintavétel (kis emberkék az ábrákon), annál pontosabban képezi le a minta a T, F, B halmazok valódi arányait, vagyis az F/T, illetve B/F arányokat. Azonban fel kell hívni a figyelmet arra, hogy a T populációból választott minta nem azonos az elvégzett tesztek számával!

Ez abból adódik, hogy az emberi populációban való terjedésen kívül, van még egy fontos jellemzõje a COVID-19 koronavírusnak, amit elég pontosan tudunk.
Mégpedig az, hogy a tünetek jelentkezésének lappangási ideje kb. 14 nap. Vagyis a fertõzõttség biztonságos felderítéséhez a 14 nap alatt többször (4-5 naponta)
kell a 3-5%-os véletlen mintán a teszteket elvégezni. Tehát a "tömeges mennyiségû teszt" a magyarországi T populációban kb. 900 ezer -1.5 millió teszt elvégzését jelenti.

Különösen soknak tûnhet ez a minta és teszt nagyság, ha figyelembe vesszük, hogy a mintán végzett tesztekbõl nyert információt, akkor tudjuk hatékonyan felhasználni, ha rövid idõ alatt sikerül megszerezni.
Mit jelent a rövid idõ? Ennek a technikai lebonyolításához kell az egészségügy kapacitásait tervezni.

Milyen eredményre számíthatunk ekkora mennyiségû véletlen mintán, megfelelõen rövid idõ alatt elvégzett teszt esetén?

E1. A teljes populációra (a magyar lakosságra) nézve, a fertõzöttség elég pontos eloszlását kapjuk, amely alapján jól elkülöníthetõk a még nem fertõzöttek a vírust hordozó fertõzöttektõl. Tehát a megelõzési stratégia (pl. kijárási korlátozások, izoláció) tervezhetõbbé válnak.

E2. Azon országok tapasztalatai alapján, amelyekben a járvány elõttünk jár, a fertõzöttségi számok alapján meg tudjuk becsülni a várható megbetegedések számát
és területi eloszlását.

E3. Így tervezhetõvé válik a fenti a) eset, vagyis a várható megbetegedettek gyógyítási kapacitása.

Természetesen az E1.-E3. eredményekhez az egészségügy megfelelõ anyagi, eszköz és emberi erõforrás kapacitásokkal kell, hogy rendelkezzen.
A magyarországi lakosságra nézve, a következõ kapacitás becslések adhatók:

K1. Ha feltételezzük, hogy egy teszthez szükséges eszköz kb. 5.000 Ft (ismert ilyen becslés), akkor ez a 900 ezer- 1.5 millió tesztre számítva: 4.5-7.5 milliárd forint.
Ez az összeg nem jelentõs tétel a magyar költségvetésben, fõleg ha figyelembe vesszük a kb. 1.000 milliárd forintnyi koronavírus járványra adott EU-s támogatást.

K2. A fenti számú véletlen mintához Magyarország 19 megyéjét számítva, megyénként átlagosan 47-79 ezer mérés szükséges. Ha személyenként 4 méréssel számolunk (a teszt idõszak alatt 4 naponta), akkor ez megyénként átlagosan 11-19 ezer ember kerül a véletlen mintába.
Ha megyénként csak a tíz legforgalmasabb közlekedési, kereskedelmi centrumban állítunk fel teszt mintavételi helyeket, úgynevezett mozgó mintavételi pontokat, akkor napi 1.100-1.900 teszt mintavételét kell elvégezni, amihez megyénként 20-40, országosan kb. 400 egészségügyi dolgozóra van szükség.

K3. Gondoskodni kell a teszteltek azonosításáról, ami egyetlen (önként megadott) mobil számmal megtehetõ. Így a teszt eredményérõl az egyén és háziorvosa könnyen tájékoztatható és pozitív teszt esetén, a "betegségügyi" intézkedések azonnal megtehetõk.

K4. Gondoskodni kell a fenti K2. pontban leírt mennyiségû teszt kiértékelését elvégzõ laboratóriumokról.

JÓ HÍR!
Egy szakértõi csoport (Török Ákos informatikus, Glattfelder Tamás közgazdász, Vilmos Pétert a Szegedi Biológiai Kutatóközpont csoportvezetõje)
arra az eredményre jutottak, hogy "nem kell minden egyes emberre lefuttatni a több órát igénylõ és több ezer forintba kerülõ tesztet, lehet több tucatnyi embert egyszerre is tesztelni. Ez a sokszorosára emeli a rendelkezésre álló kapacitást, egyúttal csökkenti az egy személyre esõ árat, és ami a legfontosabb,
drasztikusan csökkenti a tömegek leszûréséhez szükséges idõt." (Index.hu 2020.04.02.)

Az E1.-E3. járványügyi eredményekre kétféle (ellentmondó) biológiai-társadalmi-gazdasági megoldási stratégia építhetõ.

S1. Eddig ismeretlen vírus lévén, a természetes megoldás az, ha a biológiai evolúciót, azaz az immunrendszert, mint védekezõ rendszert hagyjuk mûködni.
Vagyis a tömeges megfertõzõdést nem akadályozzuk, csupán kontrolláljuk, hiszen minden fertõzött szervezetben, a rendben mûködõ immunrendszer ellenanyagot termel, ami a megbetegedés elleni természetes védekezés.
Az egészségügyi rendszert így, csak a legyengült immunrendszerek megsegítésére (elkülönítésére) kell felhasználni. Mivel azonban ez a megoldás a járvány gyors lefutásával jár, az egészségügyi kapacitások korlátossága miatt, a biológiai áldozatok száma rövid távon megnövekszik. Hosszabb távon azonban, a populáció biológiai immunitásának megszerzése és a társadalmi és gazdasági (természetellenes) izoláció által okozott válságjelenségek elmaradása érhetõ el.

S2. Felhasználhatjuk az E1.-E3. eredményeket arra, hogy a járvány terjedését, azaz a fertõzõdések sebességét a teljes populációban lelassítsuk.
Az idõben elnyújtott járvány lefolyása lecsökkenti a biológiai áldozatok számát, mert így a rendelkezésre álló "betegségügyi" rendszer kapacitásai elegendõek lehetnek.
Mivel azonban eddig ismeretlen vírusról van szó, ezt a megoldást természetes (immunrendszer) és mesterséges (vakcina) ellenanyag híján, csak az egyedek KÜLÖNLEGES IZOLÁCIÓJÁVAL érhetjük el. Ezzel az izolációval sikerül kompenzálni a korlátozott "betegségügyi" (kórház, eszköz és szakember) kapacitásokat.
De mivel e stratégia lényege az idõben elnyújtott (hosszú) lefolyás, így a túlzott (természetellenes) izoláció társadalmi és gazdasági válságjelenségekhez vezet.

----- . -----

Az S1. és S2. tehát egymással gyökeresen ellentétes egészségügyi és társadalmi stratégiák, így a döntéshozók csak az egyik megoldást választhatják.
A fentiekbõl látható, hogy a koronavírus járvány esetében jó döntés nem hozható, de a szakmai kompetenciákra figyelõ felelõs döntés igen. Mindenképpen meg kell határozni a döntés rövid, illetve hosszútávú célját, azaz a járvány alatti és utáni társadalmi-gazdasági mûködést és el kell fogadtatni azt a társadalommal.

Budapest, 2020. március 30.